Arithmetics for Computers

Addition

PENAMBAHAN sistem angka asas dua

Peraturan sistem angka asas dua	Jumlah	Bawa
0+0=0	0	0
0+1=1	1	0
1+0=1	1	0
1+1=1	0	1

Jadual Penambahan

	0	1
0	0	1
1	1	10

Contoh 1:

*1  merupakan membawa 1.

Apabila 1+1,kita perlu bawa 1 ke lajur depan.

Contoh 2:

(penambahan sistem angka asas dua dengan nombor perpuluhan)

Contoh 3:

(penambahan sistem angka asas dua dengan nombor perpuluhan)

PENAMBAHAN sistem heksadecimal(nombor perenambelasan)

          Jika jumlah nombor lebih daripada 15₁₀,jumlah yang lebih daripada 16₁₀  perlu bawa 1 ke lajur depan.

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

by Wan Bing

_______________________________________________________________________________________________

Subtraction

- Binari penolakan (Binary subtraction)

•  Asas 2
• Nombor termasuk 0 & 1 SAHAJA.
• Syarat Operasi Nombor Binari

0 – 0 = 0                 

0 – 1 = 1            (0 meminjam 2 dari nombor sebelah kirinya)

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

Contoh:

( e. ) 11.010₂ – 101.001₂

          2 pelengkap (2's complement of) 101.001₂ =      

- Perenambelasan penolakan (Hexadecimal subtraction)

•  Asas 16
• Nombor termasuk 0-9 & A-F

Contoh:

( a. ) 96₁₆ – 3B₁₆

KAEDAH 1:

              3B₁₆ = 00111011₂

2 pelengkap 3B₁₆ = 

KAEDAH 2:

              96₁₆ = 10010110₂

              3B₁₆ = 00111011₂

                   2 pelengkap 3B₁₆ = 

( b. ) 17D₁₆ + 20F₁₆

              17D₁₆ = 101111101₂

                   20F­₁₆ = 1000001111₂

by Fong

_______________________________________________________________________________________________

Multiplication

Pendaraban

Contoh 1: 1101x0111=?

  

Contoh 2:1101x1100=?

  

 

~Operan yang pertama ialah dipanggil multiplicand dan yang kedua ialah multiplier.Jawapan ialah dipanggil product. Dalam contoh ini kita menyekat angka perpuluhan 0 dan 1.Dengan hanya mempunyai dua pilihan, setiap langkah pendaraban adalah mudah:

a)     hanya meletakkan salinan multiplicand (1xmultiplicand) di tempat yang sepatutnya jika angka multiplier adalah 1

b)    letak 0(0xmultiplicand)di tempat yang sepatutnya jika angka ialah 0.

Pendaraban Hardware 

 

 

 Contoh Multiplication Hardware(rujuk contoh 1 yang diatas)

Q3)1101x0111=01011011

-Multiplicand sifar dilanjutkan kerana ia adalah tidak bertanda.

	Langkah	Multiplier	Multiplicand	Product
0	Nilai awal	0111	00001101	00000000
1	1a:LSB(Multiplieradalah 1)_Product=Product+Multiplicand	0111	0101	00001101
	2)Multiplicand beralih kiri	0111	00011010	00001101
	3)Multiplier beralih kanan	0011	00011010	00001101
2	1a:LSB(Multiplieradalah 1)_Product=Product+Multiplicand	0011	00011010	00100111
	2)Multiplicand beralih kiri	0011	00110100	00100111
	3)Multiplier beralih kanan	0001	00110100	00100111
3	1:LSB(Multiplieradalah 1)_Product=Product+Multiplican	0001	00110100	01011011
	2)Multiplicand beralih kiri	0001	01101000	01011011
	3)Multiplier beralih kanan	0000	01101000	01011011
4	1:LSB(Multiplier adalah 0)Tidak ada operasi	0000	01101000	01011011
	2)Multiplicand beralih kiri	0000	11010000	01011011
	3)Multiplier beralih kanan	0000	11010000	01011011

by Jian Tung

_______________________________________________________________________________________________

Division

Sebelum kita masuk ke topik aritmetik divisyen, mari kita megenali apa itu aritmetik modulo dulu.

Aritmetik modulo bertindak seperti aritmetik jam. 

Gambar 4.1 Jam bermodulo 12

Gambar 4.1 menunjukkan Jam bermodulo 12, di mana jam mengunakan sistem jam 12, iaitu seharian itu telah dibahagikan kepada period 12-jam.  Misalnya, sekarang ialah pukul 8 pagi (8.00am), 6 jam kemudian, jam akan menuju ke pukul 2 petang (2.00pm).

Gambar 4.1 pula menunjukkan pukul 9, 4 jam kemudian, jam menjadi kepada pukul 1.

Tapi, kita akan berasa hairan kenapa 8 + 6 bukankah = 14? Kenapa jadi 2 pula?

Sebabnya, dalam sistem jam 12 tiada “pukul 14”. Kita tahu hanya ada jam pukul 1 hingga 12 sahaja.

Oleh itu dalam aritmetik modulo, apabila kita tambah 1 kepada 0, kita dapat kosong. Tetapi, bila kita tambah 1 dengan 1, kita dapat 0 pula. Peraturan tambahan dalam aritmetik modulo ada gambaran seperti di bawah. 

0 + 0 = 0                0 + 1 = 1

1 + 0 = 1                1 + 1 = 0

Seperti di mana apabila 9 ditambah dengan 1 sama dengan 10.

Sila rujukan nota aritmetik bagi tambahan seperti di atas untuk lebih banyak info.

Dalam divisyen aritmetik modulo,

Ia tidak bertindak macam divisyen biasa. Biasanya, apabila kita bahagikan 5 oleh 2. Kita akan dapatkan nombor perpuluhan 2.5 dalam disyen biasa.

Manakala, divisyen aritmetik modulo, Kita dapat jawapannya hanya dalam bentuk integer iaitu hasil bahaginya (quotient) dan bakinya (remainder).

Kita akan mendapatkan 2 sebagai hasil bahaginya (quotient) dan bakinya (remainder) 1. (Rujuk gambar di bawah. )

Gambar 4.2 Contoh cara divisyen aritmetik untuk nombor binari

Gambar 4.2 menunjukkan contoh cara divisyen arimetik bagi nombor binari, iaitu nombor yang dibentuk oleh nombor 1 dan 0 sahaja.

Bagaimanakah kita melaksanakan divisyen aritmetik modulo bagi nombor binari?

Mari kita cuba sekarang! 

CONTOH 1

(1)                                                       (2)

 

(3)                                                       (4)

 

(5)                                                       (6)

(7)                                                       (8)

(9)

    
                                                            \

  No Remainder. 

CONTOH 2

(1)                                                       (2)

(3)                                                       (4)

(5)                                                       (6)

(7)                                                       (8)

(9)

                                                               \

 Remainder is 0010. 

by CSY

_______________________________________________________________________________________________

Floating Point

TITIK TERAPUNG(PERPULUHAN)

--macam tatatanda saintifik

                                 52

   Contoh:-1.37*10          (jenis perpuluhan)

--dua jenis

   Contoh:ketepatan tunggal(32 bit)

               ketepatan kembar(64 bit)

LATIHAN:

                                                                        tunggal:8 bit                               tunggal:23 bit

S

eksponen

pecahan

                                                                                                                                                                                                      

                              S                                               (eksponen-bias)

          X=(-1)     *(1+pecahan) *2

Dengan menggunakan formula ini dan format yang diberikan di atas,cari x (ketepatan tunggal 32 bit ) dan tunjuk kiraan.

11000010010010000000000000000000

JAWAPAN:

1)      Cari S.Bagi tanda negatif S ialah 1 dan bagi tanda positif S ialah 0.

2)      Untuk ketepatan tunggal 32 bit bias ialah 127.

3)      Bahagikan 11000010010010000000000000000000 seperti berikut:

1    10000100    10010000000000000000000

            "a"                               "b"                                                                           

                                                                                    

                                                                                  

                 ~ Dari “a” , cari decimal dari binary. 10000100 ialah 132 dan 132 dikenali sebagai   

                    eksponen.             

                 ~Dari ”b” , 1 yang berada di tempat pertama ialah 2^(-1) dan 1 yang berada di tempat

                    Keempat ialah 2^(-4). Jadi, 2^(-1) +  2^(-4)=0.5625=pecahan.

4)      Kemudian,

S=1

Pecahan=0.5625

Eksponen=132

Bias=127

X=((-1)^1)*(1+0.5625)*(2^(132-127))

   =-50.00

LATIHAN:

Menukarkan -50.00 kepada ketepatan tunggal 32 bit.

1)      Tanda negative bermaksud S=1.

2)      50 ialah 110010 dalam format binary.

           

                             1 1 0 0 1 0=1.10010*10^5=gerak 5 langkah

        

3)      Eksponen=127+5(5 langkah)=132

4)      132=10000100 dalam format binary.

5)      Jadi, JAWAPAN ialah 11000010000000000000000000000000 merujuk format berikut.

                                              tunggal:8 bit                                                tunggal:23 bit                                                

S

eksponen

pecahan

BAGAIMANA TAMBAH DUA TITIK TERAPUNG???

10.559*10^1+2.003*10^(-2)

Langkah 1 : Gerakkan nombor dengan eksponen yang lebih kecil, menjadikan dua titik terapung  

                   mempunyai kuasa yang sama.

                   2.003*10^(-2) = 0.002003*10^1

Langkah 2 : Tambah

                   10.559*10^1+0.002003*10^1=10.561003*10^1

Langkah 3 : Menormalkan hasil

                   10.561003*10^1=1.0561003*10^2=1.056*10^2

BAGAIMANA DENGAN KIRAAN TOLAK???

10.559*10^1-10.553*10^1

Langkah 1 : Tolak

                   10.559*10^1-10.553*10^1=0.006*10^1

Langkah 2 : Menormalkan hasil

                   0.006*10^1=6.000*10^(-2)

BAGAIMANA DENGAN KIRAAN DARAB???

10.559*10^1*(2.003*10^(-2))

Langkah 1 : Darab

                   10.559*2.003=21.149677

                   (10^1)*(10^(-2))=10^(-1)

                   JAWAPAN ialah 21.149677*10^(-1)

Langkah 2 : Menormalkan hasil

                   2.115*10^0

                                                                                                                    by Kerrlyn